Суть кругового турнира в том, что каждый участник встречается с каждым другим участником. На первый взгляд кажется, что итоговое положение определяется только количеством набранных очков. Однако распределение этих очков между партиями имеет большое значение. В некоторых случаях изменение одного результата может изменить положение сразу нескольких участников, поэтому математически один и тот же результат имеет различную ценность в зависимости от состояния турнирной таблицы.

Здесь S_i - итоговое количество очков участника, W_i - количество его побед, а D_i - количество ничьих. При стандартной системе начисления очков победа приносит одно очко, ничья - половину, а поражение - ноль.

Рассмотрим четырех участников A, B, C и D. Каждый из них проводит по три партии. Если A набрал 2 очка, это само по себе еще ничего не говорит о его положении. В зависимости от результатов остальных партий он может находиться как на первом, так и на последнем месте. Следовательно, оценивать отдельный результат без учета всей таблицы нельзя.

Величина G показывает отставание участника от лидера. Если перед последним туром разница между двумя участниками составляет половину очка, одна ничья может оказаться достаточной для сохранения позиции. Если же разница составляет одно очко, значение результата последней партии становится совершенно другим.

Особенно интересна ситуация, когда один участник уже не может догнать лидера, но при этом еще способен изменить положение двух других игроков. Например, A уже набрал достаточно очков для первого места, а B и C борются за второе. Результат партии A-C одновременно определяет итог A, итог C и косвенно изменяет положение B. Таким образом, одна партия влияет не только на двух ее непосредственных участников, но и на распределение мест во всей таблице.

Для оценки такого влияния можно ввести условную величину R_i, показывающую количество дополнительных турнирных очков, на которые влияет результат участника через изменение положения других игроков. Тогда P характеризует не только собственный результат, но и его влияние на окончательную таблицу.

Это приводит к интересному математическому эффекту. В обычной системе участник стремится увеличить собственное количество очков. Но если целью является определенное место в таблице, максимизация собственных очков и максимизация вероятности занять это место не всегда являются одной и той же задачей. Это особенно заметно, когда несколько участников имеют близкие результаты.

Здесь T - количество очков, необходимое для достижения некоторого места при заданных результатах остальных участников, а M - необходимое количество дополнительных очков. Если после изменения одного результата величина T изменяется, то изменяется и ценность будущей партии для данного участника.

Например, предположим, что перед последним туром три участника имеют соответственно 5, 4,5 и 4 очка. Игрок с 4 очками должен выиграть свою партию, чтобы получить 5 очков. Но если игрок с 4,5 очка проиграет, то ситуация изменится, и уже ничья может оказаться достаточной для занятия нужного места. Таким образом, необходимый результат зависит не только от собственной партии, но и от другой партии, которая проходит одновременно.

Итоговое место каждого участника можно представить как функцию от результатов всех участников турнира. Поэтому изменение результата одной партии изменяет сразу два значения S и после этого может изменить порядок всей последовательности. Чем меньше разница между соседними участниками, тем сильнее такой эффект.

В этом смысле математическая манипуляция не требует предварительной договоренности между участниками. Она возникает из самой структуры соревнования. Игрок может выбирать результат, который увеличивает его собственные очки, но окончательное место при этом определяется всей совокупностью результатов. Поэтому для анализа турнира недостаточно рассматривать партии независимо друг от друга.

Введем показатель влияния результата I, где ΔS - изменение количества очков одного участника, а ΔR - изменение количества мест, на которые влияет это изменение. Чем больше значение I, тем сильнее небольшое изменение результата отражается на турнирной таблице...